Dans l'univers voyagent plusieurs astres...
Beaucoup de doutes planent autour des cometes, mais nous avons la certitude qu'elles voyagent autour d'un orbite avec une trajectoire elliptique.
Dans cette ellipse munie d’un repère, nous avons l’axe des abscisses qui s’appelle le grand axe et l’axe des ordonnées qui se nomme le petit axe.
➢ Grand axe = 2a
➢ Petit axe =2b
Le soleil est l’un des foyers. De plus la vitesse d’un point matériel en mouvement lors d’une trajectoire elliptique n’est pas constante.
Les tois lois de Kepler
⦁ 1ère : Loi des trajectoires
Johannes Kepler (1571-1630), astronome allemand qui découvrit les lois sur le mouvement des planètes, nous énonce dans la première loi : «Dans le référentiel héliocentrique l’orbite de chaque planète est une ellipse dont l’un des foyers est occupé par le soleil ».
Référentiel terrestre:
C'est le référentiel constitué à partir de n'importe quel solide de référence fixe par rapport à la Terre. C'est un référentiel adapté à l'étude des mouvements de courtes durées sur Terre. Le référentiel que l'on appelle couramment "laboratoire" en fait parti. Il existe une infinité de référentiels terrestres, autant que d'objets fixes par rapport à la Terre.
Référentiel géocentrique:
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de gravité terrestre, et ses axes sont définis par rapport à trois étoiles fixes. Deux de ces étoiles sont l'Etoile Polaire et Beta du Centaure. La Terre n'est pas immobile dans le référentiel géocentrique. La trajectoire d'un point de la surface de la Terre dans le référentiel géocentrique est un cercle qui porte le nom de parallèle.
Ce référentiel est bien adapté à l'étude du mouvement de la Lune autour de la Terre, ainsi que celui des satellites artificiels.
Référentiel héliocentrique:
La Terre et ses planètes voisines tournent autour du soleil. Dans un référentiel terrestre, le mouvement de ces astres est très difficile à déterminer. On a donc créé le référentiel par rapport auquel le centre du soleil est fixe. Le référentiel héliocentrique est défini par le centre de gravité du soleil et des étoiles lointaines considérées comme fixes.
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes ont une trajectoire elliptique.
Définition:
⦁ 2ème : Loi des aires
Kepler constate que les planètes ne tournent pas autour du soleil avec une vitesse constante. Elles se déplacent plus rapidement lorsqu’elles sont plus proches du soleil et sont plus lentes lorsqu’elles en sont éloignées. Il énonce ainsi que : le segment de droite reliant le soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Sa vitesse n’est pas constante, elle va plus vite à son périhélie.
⦁ 3ème : Loi des périodes
Le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est le même pour tous les planètes.
Donc on a: T²/a^3 =K= 4π²/GM
K ➝ est une constante indépendante de la masse de la planète.
M ➝c’est la masse des corps qui crée le champ gravitationnel.
a➝ le cube du demi grand axe (en m3)
G➝ la constante gravitationnel qui vaut 6.67*10^-11
T➝ la période en seconde
Méthode utilisée :
Afin de vérifier la loi des aires, nous prendrons un exercice sur la comète d’Halley, dont nous avons résolu grâce à cette troisième loi de Kepler.
Exercice
ÉNONCE: La comète de Halley
En 1682, le passage d’une comète donne l’occasion à Edmund Halley, avec l’appui de Newton, de démontrer que la trajectoire de ladite comète est une ellipse. Comme les planètes, cette comète est soumise à la loi de la gravitation universelle. Il endéuit que la comète de 1682 doit donc repasser au voisinage du Soleil. Ce retour s’effectue régulièrement tous les 76 ans. Le dernier passage remonte à 1986. Chaque comète est identifiée par sa trajectoire et sa période de révolution. La trajectoire se caractérise par le point de passage au plus près du Soleil (périhélie) et le point de passage au plus loin (aphélie). La période est le temps mis par la comète pour faire un tour complet dans le système solaire.
30 -11
Données: Masse du Soleil M = 2,0.10^30 kg ; G = 6,67.10^-11 SI
On se propose d’étudier quelques caractéristiques du mouvement de la comète de Halley lors de son dernier passage.
Voici un énoncé de la troisième loi de Kepler :
« Les carrés des temps de révolution des planètes du système solaire sont
proportionnels aux cubes des demi-grands axes des orbites elliptiques », ce qui se
traduit par :
T^2.d^3 = 4pi^2/(GM)
Où T est le temps de révolution et d la longueur du demi-grand axe.
1. Par quel terme peut-on remplacer « temps de révolution » ?
2.a) Donner les caractéristiques du vecteur accélération dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme sur une trajectoire de rayon R.
b) Etablissez l'expression de la vitesse lors d'un tel mouvement. c)Etablissez l'expression du « temps de révolution » d'un tel mouvement.
d) Démontrez la 3e loi de Kepler.
3.a) Quelle est la valeur du « temps de révolution » de la comète de Halley ?
b) La valeur du demi-grand axe de l’ellipse décrite par la comète de Halley 12
est égale à 2,69.10 m. Montrez que la troisième loi de Kepler est vérifiée dans le cas de la comète de Halley.
Troisième loi de Kepler